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2018年山东烟台第24题——倒二压轴(正方形与旋转)

福州张丽华 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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2018年山东烟台第24题

【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1、PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?

小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:

思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP´A,连接PP´,求出∠APB的度数;

思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP´B,连接PP´,求出∠APB的度数.

请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.

【类比探究】如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=√11.求∠APB的度数.


【题干精析】由题意可看出问题的背景是正方形,BC=BA,∠ABC=90°,满足旋转的前提条件,思路一、二都是通过旋转,从而构造等腰直角三角形,再通过边之间的关系,寻找新三角形的角的特殊性来解题,因此,这两种思路是相同的。

【图文精解】

这里旋转思路一来具体分析:将△BPC绕着点B逆时针旋转90°,恰好点C与点A重合,得到△BP’A,连接PP’,则AP’=BC=3,△PP’B是等腰直角三角形,∠BPP’=45°,且PP’=√2BP=2√2,因此△APP’的三边满足勾股定理逆定理,可推出△APP’为直角三角形,∠APP’=90°,从而得到∠APB=135°。


【类比探究】

虽然将点P移到正方形外部,但是图形的背景没有改变,因此,依然可以用旋转来解决,将△ABP绕点B顺时针旋转90°,此时,点A恰好与点C重合,得到△CBP’,则∠CP’B=∠APB,P’C=AP=3,同样可得△BPP’为等腰直角三角形,∠PP’B=45°,PP’=√2,又可得出△PCP’的三边,可求得△PCP’为直角三角形,∠PP’C=90°,从而∠CP’B==45°,即∠APB=45°。

【方法精点】

当问题背景为等腰直角三角形、等边三角形、正方形等时,往往可以考虑用旋转的方法来寻找解题思路。

【拓展精深】

如图,△ABC中,AB=6,BC=4,在AC一侧作等边三角形△ACD,求BD的最大值和最小值。

【答案】2≤BD≤10

此类题型在《顶尖数学培优专题》(九上)旋转一章中有详细阐述.


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